Definizione di equity e expected value

I concetti che andremo a definire più avanti sono utili per valutare l’effetto delle nostre azioni sul lungo termine,  pertanto non sono strategie per vincere la partita di Natale con gli amici o la finale delle WSOP a Las Vegas, noi metteremo in discussione tutta la nostra carriera di scommettitori, nella quale faremo vincite clamorose e subiremo sconfitte brucianti, ma se le nostre scelte saranno giuste, ne usciremo con profitto, altrimenti finiremo in bancarotta.

Facciamo una piccola considerazione statistica:

Abbiamo 1 probabilità su 52 di trovare l’asso di cuori pescando da un mazzo mescolato.
Ora pescando una carta e rimescolando il mazzo ogni volta possiamo dire di trovare l’asso di cuori ogni 52 volte che pesco una carta. E’ facile capire che non posso pensare di contare fino a 51 dall’ultima volta che è uscito l’asso di cuori e poi tirarlo fuori di nuovo. Se il mazzo è rimescolato correttamente, uscirà casualmente, pertanto potrebbe uscire più di una volta nelle prime 52 e non uscire più per le prossime 200 e cosi via… se però io pesco una carta 52.000.000 di volte, avrò pescato l’asso di cuori un numero di volte prossimo a 1.000.000, magari 957.000 oppure 1.025.000, ma mai 40.000.000 di volte.

Tanto più è grande il numero di volte che pesco la carta, tanto più il numero di volte che pesco l’asso di cuori è vicino ad 1/52 del numero di tentativi.

Pertanto, maggiore sarà il numero di mani giocate, tanto più il risultato che otteniamo è vicino alla qualità del nostro gioco.

Supponiamo, a questo punto di essere pagati 26$ per ogni volta che riusciamo a pescare l’asso di cuori, supponendo di ripetere questa operazione un numero sufficiente di volte, posso dire di guadagnare 26$ ogni 52 giocate, sicuramente non in ordine, ma su 52.000 giocate lo pescherò un migliaio di volte. In totale quindi guadagnerò circa 26.000$ e che corrispondono ad un guadagno medio di 0,5$ a giocata, questa cifra, rapportata al premio che si ottiene ogni volta è pari alla probabilità che si ha di vincerlo.

Cioè se ho una probabilità su 52 di vincere 26$, vuol dire che ogni giocata che faccio vale 1/52mo del premio (26$) ovvero 0,5$.

Questo ci introduce un importante concetto quello dell’ Equity, cioè se partecipo ad un premio, la cui assegnazione è determinata da un evento casuale che ha una probabilità certa di accadere, posso considerare di avere una quota del premio pari a questa probabilità, per tutte le volte che vi partecipo.

Però potrò incassare questa quota solo se giocherò un numero di volte sufficiente affinché gli effetti della casualità siano mitigati.

In effetti potrei pescare una carta 500 volte e non guadagnare nulla, però se ripeto questa operazione 10/11.000 volte mi ritroverò una cifra prossima a 5000/5500 $.

Facciamo un altro esempio/esercizio:

Lanciamo un dado, vinceremo 6$ ogni volta che esce il 6, quanto vale la nostra equity per ogni lancio ?

Chiaramente vinciamo 1$ ogni lancio, in quanto vinciamo 6$ ogni 6 volte che lanciamo il dado.

Molto difficilmente troveremo chi ci regala soldi, anche se casualmente, una volta ogni tanto, più tipicamente dobbiamo mettere la nostra quota di scommessa, o sotto forma di ticket di partecipazione o di scommessa vera e propria.

Se valutiamo i nostri ricavi (equity positiva) come la quota di montepremi che incasseremo nel lungo termine per ogni scommessa effettuata, valuteremo i nostri costi (equity negativa) come la quota di scommessa che verseremo nel lungo termine per ogni giocata effettuata . Il guadagno sul lungo termine sarà quindi ricavi meno costi, che chiameremo valore atteso.

Torniamo al primo esempio: 26$ per ogni volta che si pesca l’asso di cuori da un mazzo di carte mescolato. Se questo gioco fosse ad accesso gratuito, è chiaro che tutto quello che riusciamo a vincere è guadagnato…e l’ammontare del guadagno dipenderà solo dalla velocita con la quale riusciremo a tirar fuori carte e rimescolare.

Ma se per partecipare a questo gioco dovessimo pagare un biglietto per ogni carta che tiriamo fuori ? Quanto saremmo disposti a spendere ? Quanto sarà il nostro guadagno sul lungo termine ?
Per esempio il ticket è di 1$, pago 1$ per vincerne 26 a prima vista sembra vantaggioso, (come i gratta&vinci !) ma se ci domandiamo quanti ticket da 1$ devo comperare prima di vincere 26$?

Se la nostra intenzione è di comprarne uno, succeda quel che succeda… la risposta è facile: Uno, ma nessuno ci garantisce di vincere i 26$.

Se invece volessimo trarre profitto da quel gioco, saremmo disposti a giocare 100, 1000, 10.000 ticket fino a raggiungere il valore atteso per quella giocata.

Abbiamo già calcolato quale è l’equity positiva a questo gioco: 0,5$ per ogni giocata effettuata.
Quella negativa è relativamente facile, visto che acquistiamo sempre un ticket da 1$, e allora che ci aspettiamo da questo gioco? Spendiamo ogni volta 1$ per guadagnarne mezzo, in pratica ci rimettiamo 0,5$ ogni giocata che facciamo. Il valore atteso (Expected Value) per questa giocata è -0,5$. Conoscendo esattamente la nostra equity possiamo facilmente sapere quando una scommessa è conveniente o meno: per partecipare al gioco precedente saremo disposti a pagare un ticket massimo di 0,5$ che, sul lungo periodo, comunque non ci farà guadagnare nulla (break even).

Visto che il ticket di 1$ è inaccettabile con queste regole di gioco, e il nostro bookmaker non ne vuole sapere di abbassare il prezzo del biglietto; cambiamo le regole, cerchiamo di fargli accettare di pagarci comunque i 26$ ogni volta che peschiamo un qualsiasi asso.

Cosa è cambiato ?
Adesso la probabilità di pescare un asso dal mazzo è diventata 1/13 (4/52) e quindi la nostra equity è pari a 1/13 di 26$ cioè 2$, noi vorremmo pagare un ticket di 1$ per vincere 2$, a questo punto il nostro Expected Value (EV) è uguale a 1$, vorrà dire che se giochiamo 1000 volte torniamo a casa con 1.000$ (piuomeno).

Beh, il bookmaker fa questo mestiere da prima di noi e non accetterà sicuramente una regola del genere, allora ci propone un’altra formula: lui ci continua a pagare i 26$ all’asso di cuori, ma noi pagheremo il ticket solo se esce una figura (J, Q, K, A)
A questo punto non dovremo pagare più il ticket a tutte le giocate, ma solo quando esce la figura, cioè 16 volte ogni 52, quindi la nostra equity negativa corrisponderà a 1$x16/52 cioè 0,31$ in media ogni volta che peschiamo una carta. Il nostro valore atteso è quindi 0,5$ di vincita per ogni giocata ,0,31$ di perdita per ogni giocata, (0,5-0,31)=0,19$ di guadagno per ogni giocata…
(il bookmaker cambierà mestiere presto..).

Pertanto conoscendo la probabilità che un determinato evento accada, possiamo sapere quanto vale la pena puntare su quell’evento, perché sappiamo anche quanto potremo ricavare da quella situazione nel lungo termine.

Definendo la formula generale dell’EV:

EV=(Vincita x % di vincere)-(Perdita x % di perdere)

Sul nostro forum, e più in generale nel gergo del poker si è soliti indicare con EV+ un valore atteso positivo, e quindi un guadagno sul lungo termine, con EV- un valore atteso negativo e quindi una perdita.
Da questo articolo dovremmo capire che non è importante confrontare vincita probabile con perdita probabile, ma devono essere relazionati con la loro possibilità di verificarsi.

Facciamo un po’ di esempi concreti e vediamo quando è vantaggioso giocare.

Gioco del Lotto

Numero singolo su ruota singola, probabilità di vincere 1/90, il gestore incassa sempre la puntata e paga la vincita 10 volte la puntata

EV= (10p x 1/90) – (1p x 90/90) = -0,89p

Vuol dire che giocando il numero singolo al Lotto lascio al gestore del gioco il 90% di quello che punto.

Lottera Italia

Venduti nel 2008 18,5 milioni di biglietti

Costo del biglietto 5€

Montepremi 30,6 M€

EV=(30,6M€ x 1/18M) – (5€x(18M-1)/18M) = ca -3,3€

Come vediamo il gioco è un po’ meno perdente che non il lotto, il vero problema, in questo caso è la ripetizione: come abbiamo visto prima, per poter incassare la nostra equity, dobbiamo giocare un numero sufficiente di giocate, di solito un multiplo abbastanza grande delle probabilità totali.

Ovvero comperare qualche miliardo di biglietti. E, anche avessimo qualche miliardo di anni a disposizione per giocare a tutte le edizioni della lotteria, ogni edizione compreremmo un solo biglietto, in quanto la nostra equity cambierebbe di pochissimo, anche con 100, 1000 o 100.000 biglietti per volta.

Roulette

36 numeri + 0

Numero singolo, in caso di vincita il gestore non incassa la posta e paga 35 volte la puntata.

EV= (35p x 1/37)-( 1p x 36/37) =  -1/37p

Il banco incassa 1$ ogni 37 che ne gioco.

Rosso o nero in caso di vincita il gestore non incassa la posta e paga pari alla puntata.

EV= (1p x 18/37)-(1p x 19/37) = -1/37p

È facile capire che il numero 0 è l’assicurazione di guadagno del casinò indipendentemente da come passeranno poi i soldi da un giocatore all’altro per effetto delle puntate.
A parametri invertiti, per i gestori dei giochi questi giochi sono sempre EV+.

Dadi

Adesso vi propongo un piccolo esercizio: il gioco dei dadi di prima.
Ogni volta che esce il 6 guadagniamo 6$, ma ogni volta che non esce perdiamo 1$
Potremmo giocare a questo gioco?